GEOMETRIA NA ESFERA

O caminho mais curto entre dois pontos num plano é um segmento de reta. Qual o caminho mais curto entre São Paulo e Tóquio?
Pensando na Terra como uma esfera, a resposta a essa pergunta é um segmento de reta da esfera. Mas o que chamamos de “reta” na casca da esfera é bem diferente da reta no plano: é um círculo máximo. Por exemplo, a linha do equador é uma reta na esfera, bem como qualquer um dos meridianos.
Note que por dois pontos da esfera pode passar mais que uma única “reta”. Pense, por exemplo, nos polos: todos os meridianos são “retas” passando por esses dois pontos. Também é claro que duas “retas” sempre se cruzam em dois pontos e fica difícil definir o que são retas paralelas nessa geometria.
Uma curiosidade interessante: na geometria esférica, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre maior do que 180 graus e menor do que 540 graus.

Caminho mais curto entre São Paulo e Tóquio num mapa plano. Fonte: Google Maps.
Caminho mais curto entre São Paulo e Tóquio num globo. Fonte: Google Earth.

SPHERICAL GEOMETRY

The shortest path between two points on a plane is a line segment. What is the shortest path between São Paulo and Tokyo?

Thinking of the Earth as a sphere, the answer to that question is a straight line segment of the sphere. But what we call "straight" in a sphere surface is quite different from the straight line in a plane: it is a maximum circle. For example, the equator line is a straight line on the sphere as well as any of the meridians.

Note that, given any two points on the sphere surface, there can be more than one straight line segment joining them. Think, for example, of the poles: all meridians are "straight lines" through these two points. It is also clear that two "straight lines" always intersect at two points and it becomes difficult to define the concept of “parallel lines” in this geometry.

An interesting curiosity: In the spherical geometry, the sum of the internal angles of a triangle is always greater than 180 degrees and less than 540 degrees.

The shortest path between Sao Paulo and Tokyo on a flat map (above) and on the globe (below). Source: Google Maps and Google Earth.