POLIEDROS

O interesse pelos poliedros vem desde a Grécia Antiga e perdura até nossos dias. Até o presente há pesquisa sendo feita sobre poliedros e também politopos, que são sua generalização para dimensões mais altas e para geometrias não euclidianas, como a hiperbólica ou a esférica.
Além do prazer estético, os poliedros proporcionaram belos, simples e surpreendentes teoremas. Após o Renascimento, destacamos o Teorema de Euler, relacionando o número de faces, arestas e vértices de um poliedro pela fórmula V+F=A+2.
A fórmula de Euler vale desde que o poliedro seja equivalente, no sentido topológico, a uma esfera. Significa, intuitivamente, que podemos “inflar” o poliedro até que ele se torne uma esfera.
Para poliedros desse tipo vale também a Fórmula de Descartes, que afirma que a soma das deficiências angulares dos vértices é sempre igual a 4π (ou 720 graus). A deficiência angular de um vértice é o quanto falta para a soma dos ângulos de face incidentes naquele vértice atingir 2π (ou 360 graus).

Kepler estudou muito os poliedros. Seu fascínio era tão grande que tentou explicar as distâncias dos planetas ao Sol com base em um esquema de esferas e poliedros inscritos uns nos outros, em seu livro Mysterium Cosmographicum.

POLIEDROS CONVEXOS DE FACES REGULARES

English version below

UNIFORMES Os poliedros uniformes são aqueles em que todos os vértices são indistinguíveis entre si. Pode-se dizer que 'o que se vê do poliedro a partir de um vértice é exatamente o que se vê a partir de qualquer outro vértice'
PLATÔNICOS Faces iguais (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro)
PRISMAS Bases paralelas ligadas por quadrados (família infinita)
ANTIPRISMAS Bases paralelas ligadas por triângulos (família infinita)
ARQUIMEDIANOS Outros uniformes (número finito)
NÃO UNIFORMES Pirâmides, cúpulas, deltaedros, cortes de uniformes etc. Podem ser tanto elementares quanto compostos – os compostos são aqueles que podem ser cortados em dois outros poliedros convexos de faces regulares, os elementares são os que não podem. Há um número finito deles.

CONVEX POLYHEDRA WITH REGULAR FACES

UNIFORM POLYHEDRA Uniform polyhedra are those in which all vertices are indistinguishable from each other. One can say that 'what you see of the polyhedron from a vertex is exactly what you see from any other vertex'. They are classified into 'platonic', 'prisms', 'antiprisms', and 'archimedean'.
PLATONIC These are the uniform polyhedra with equal faces (tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron).
PRISMS Parallel bases connected by squares (infinite family).
ANTIPRISMS Parallel bases connected by triangles (infinite family).
ARCHIMEDEANS All other uniform polyhedra (finitely many).

NON-UNIFORMS Pyramids, domes, deltahedrons, cuts of uniforms etc. They can be both elementary and composite - composite polyhedra are those which may be split by a plane into two other convex polyhedra with regular faces, while the elementary ones can't. They are finitely many.