TOPOLOGIA DAS SUPERFÍCIES

Duas superfícies são consideradas equivalentes, segundo a Topologia, se uma puder ser transformada na outra por meio de deformações sem rompimento, ou ainda, deformações com rompimento mas seguido de “colagem de volta no mesmo lugar”.
A superfície esmaltada de uma xícara e um toro (que é o formato da câmara de pneu) são equivalentes nesse sentido, pois podemos deformar, ao menos imaginariamente, uma na outra. Um poliedro convexo pode ser deformado para se transformar numa esfera, e assim por diante.
Algumas superfícies têm bordo, enquanto outras não têm. O bordo constitui-se de uma ou mais curvas fechadas simples no espaço, formando nós ou enlaces.
As superfícies também podem ter “dois lados” (orientáveis) ou “apenas um lado” (não orientáveis). Você pode investigar isso passeando com o dedo por elas.

Deformação de um toro
Deformação de um bitoro
Faixa de Möbius
Garrafa de Klein

TOPOLOGIA ALGÉBRICA

Estas peças que lembram objetos artísticos ou de artesanato ilustram uma das mais belas áreas da Matemática, a Topologia Algébrica. Nessa teoria, as superfícies são vistas por suas propriedades mais intrínsecas, que não variam sob deformações, diferentemente da Geometria, que se preocupa com a forma exata dos objetos no espaço.
Uma informação importante sobre uma superfície é sua característica de Euler (χ), que pode ser obtida de qualquer subdivisão da superfície em polígonos. Contando-se faces (F), arestas (A) e vértices (V) da subdivisão, calcula-se o número χ=F−A+V. É possível mostrar que esse número não depende da subdivisão escolhida. A esfera, por exemplo, tem característica de Euler igual a 2, e é por isso que todos os poliedros convexos satisfazem a fórmula de Euler.
A classificação das superfícies foi feita no século XIX: duas superfícies conexas, fechadas e limitadas são equivalentes se, e somente se, tiverem o mesmo número de componentes de bordo, a mesma orientabilidade e a mesma característica de Euler. Isto significa que essas três informações determinam completamente de que superfície se trata.

Premiada na I Bienal de São Paulo, em 1951, a Unidade Tripartida, de Max Bill, é um exemplo da influência da Topologia na Arte.
Não importa qual seja a subdivisão da esfera, a contagem “faces – arestas + vértices” sempre vai dar igual a 2. Já no toro o resultado é sempre igual a zero.

TOPOLOGY OF SURFACES

According to Topology, two surfaces are considered equivalent if one can be transformed in the other by means of deformations without rupture or by deformations with rupture but followed by “gluing back in the same place".

The enamelled surface of a cup and a torus (which is the shape of the tire inner tube) are equivalent in this sense, since we can deform one into the other (or at least imagine we can do it). In the same way, a convex polyhedron can be deformed to become a sphere and so on.

Some surfaces have an edge or boundary while others do not. The edge consists of one or more simple closed curves in space which can form knots or links.

Surfaces can also be "two-sided" (orientable) or "one-sided" (non-orientable). You can investigate this by running your finger through them.