FRACTAIS

Fractais são “objetos” geométricos com estruturas autossimilares em infinitas escalas, isto é, existem cópias exatas ou aproximadas do objeto inteiro em pedaços de tamanhos tão pequenos quanto se queira.

O termo fractal foi cunhado por Benoît Mandelbrot na década de 1970, quando os recursos computacionais permitiram enxergar a riqueza e a beleza dessas figuras, para além dos exemplos e descobertas do início do século XX, feitas por Helge von Koch, Gaston Julia, Pierre Fatou e outros. À parte sua importância na matemática, os fractais servem como ferramenta na imitação de cenários naturais e plantas. Por exemplo, a imagem abaixo mostra um brócolis romanesco!

Imagem: AVM, na Wikimedia Commons

Podemos também observar esse tipo de fenômeno fazendo um zoom vertiginoso a partir da observação de um ponto fixo em uma certa imagem, a qual é chamada de Conjunto de Mandelbrot, definido na teoria de Sistemas Dinâmicos. Para ver esse incrível zoom, além de muitos outros, basta entrar no canal Maths Town.

Outro jeito de vermos a formação de fractais é usando bolas espelhadas, como as da figura abaixo. Note que, ao colocá-las em certa posição e usando luzes coloridas, podemos ver o padrão repetindo-se "infinitas" vezes: basta ir aproximando as luzes das bolas espelhadas e assistir bem de perto a proliferação dos fractais!

ESPONJA DE MENGER

No início do século XX, surgiram vários exemplos de conjuntos fractais, que serviam como contraexemplos (ou testes) na topologia e, mais particularmente, nos trabalhos relacionados ao conceito de dimensão.

Karl Menger, em 1926, propôs essa “esponja”, que nada mais é do que uma generalização tridimensional do Tapete de Sierpinski, idealizado 10 anos antes por Waclaw Sierpinski.

Começa-se com a partição de um cubo em 27 cubos com um terço de seu tamanho e a retirada de 7 desses cubos menores (o do meio e os 6 do meio das faces). Para cada cubo restante, aplica-se o mesmo procedimento, e assim até o infinito. O conjunto resultante é autossimilar: seus pedaços, se ampliados corretamente, são congruentes à figura toda.

A esponja de blocos de origami “nível 2” à direita foi feita pela aluna Carla Teodoro, dentro do projeto MegaMenger de construção de uma esponja nível 4 a partir de trabalho colaborativo no mundo inteiro.