LADRILHAMENTOS

A arte do ladrilhamento consiste no preenchimento do plano com polígonos, sem superposições ou buracos. Essa técnica é usada em uma grande variedade de aplicações: papéis de parede, pisos decorativos com cerâmicas ou pedras, pisos e forros de madeira, estamparia de tecidos, malharias e crochês, no empacotamento ou empilhamento de objetos iguais etc.

Imagem: Gastão Guedes.
Imagem: Alisson Ricardo.

Há apenas 11 tipos de ladrilhamentos que usam apenas polígonos regulares e mantêm a mesma distribuição de peças em cada vértice. Entretanto, nenhum deles permite o uso de pentágonos regulares. Com um único tipo de polígono, temos os ladrilhamentos de triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos, mas também com pentágonos irregulares. Além disso, não é difícil ver que qualquer quadrilátero serve para fazer um ladrilhamento do plano.

Os mosaicos de Penrose usam dois polígonos especiais, o “papagaio” e a “asa delta”, para formar ladrilhamentos que não se repetem.

Imagem: Alisson Ricardo.

Essa página da Wikipedia fala sobre ladrilhamentos (no inglês, tessellation ou tiling), conta um pouco de sua história e apresenta seu uso na matemática, inclusive sobre sua aplicação em dimensões maiores que 2 e até mesmo na geometria não euclidiana. Esta outra página da Wikipedia traz mais especificamente o ladrilhamento com polígonos regulares convexos.

Este resumo encontrado na página do Pi.math mostra a presença do ladrilhamento no dia a dia, muitas vezes em lugares onde nem pensamos em matemática. Além das fotos, também é trazida uma definição matemática e a explicação de como verificar se dois ladrilhos são congruentes entre si.                                                                                                                

Esta apresentação sobre mosaicos da UNB - Universidade de Brasília - traz uma definição mais formal sobre o que são os ladrilhamentos, a partir da união de regiões poligonais, e também algumas conclusões interessantes sobre o tema. Além disso, traz vários exemplos e imagens para tangibilizar o tema.                                                                                                                

Esta página do Portal do Professor apresenta uma aula envolvendo ladrilhamentos, apresentando o tema a partir de um estudo mais profundo da geometria envolvida nele. Por exemplo, a página faz considerações cuidadosas sobre condições necessárias e suficientes para os polígonos se encaixarem e também algumas análises da congruência de polígonos.

Por fim, se você se interessou pelo tema e gostaria de tentar montar seus próprios ladrilhos, este recurso do Geogebra permite que você escolha alguns dos polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos e outros polígonos mais gerais) e comece a ladrilhar! Por meio da interface, ainda é possível conectar os polígonos pelos seus vértices.