RODAS DENTADAS

Inicie o movimento com todas as flechas na vertical e apontando para cima. Comece a rodar observando a engrenagem azul. Quantas voltas da roda azul são necessárias para que o mecanismo volte à posição inicial?

Você pode responder o desafio simplesmente contando as voltas da engrenagem azul. Mas poderia também prever o resultado sem sequer colocar a mão no aparato.

O que importa aqui é o número de dentes das engrenagens. A flecha da roda azul volta à posição inicial quando essa roda der uma volta, ou seja, quando passarem 20 dentes da engrenagem. De novo a flecha volta à posição inicial quando passarem 40 dentes, 60 dentes, etc. Dá-se algo análogo com as outras rodas.

Conclusão: todas as flechas estarão de novo na posição inicial quando o número de dentes que passarem for um múltiplo de 20, de 30 e de 48, ao mesmo tempo. Na primeira vez que ocorre é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos três números. E aí, quantas voltas dá a roda azul para que o mecanismo volte à posição inicial?

Imagem: ENEM 2017.

O princípio das rodas dentadas é usado em bicicletas, para que o número de pedaladas não necessite ser exatamente igual ao número de voltas da roda.

Se quiser ver um pouco mais sobre esse mecanismo, dê uma olhada no vídeo abaixo! Aproveite e confira os outros vídeos bem legais que tem no canal da Matemateca!

                 

LINKS ÚTEIS

Esta página da Wikipedia traz uma explicação geral sobre o que são engrenagens, as bases desta peça. Nela, são mostrados os principais tipos de engrenagens, como as cônicas e as helicoidais, e alguns cálculos envolvidos em sua análise, além de uma galeria de fotos.

Este vídeo do canal Marcelo Pereira é uma aula sobre o princípio das rodas dentadas. Tal princípio é estaudado com o auxílio de uma ferramenta chamada Solidworks, útil na criação de modelos e conjuntos tridimensionais, facilitando, por exemplo, projetos mecânicos.

O conceito analisado com esta peça é o de mínimo múltiplo comum, explicado nesta página da Wikipedia. Nela, são dados a definição exata e uma forma de calcular eficientemente. Também traz um método alternativo e algumas propriedades relacionadas ao tema, além de apresentar conceitos que também são importantes neste estudo, como o de máximo divisor comum.

Por fim, o uso matemático das engrenagens não se resume ao cálculo do MMC. Blaise Pascal, matemático francês, já as usava na construção da sua calculadora, conhecida como Pascalina (ou Máquina de Pascal). Nesta página da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, o funcionamento e a história de tal mecanismo são explicados, além de serem trazidas outras máquinas como exemplo para comparação.