EQUIDECOMPONIBILIDADE

Com as mesmas peças podemos formar um hexágono ou um quadrado!

Será que também é possível fazer isso com um quadrado e um triângulo equilátero?

Na verdade, pode-se mostrar que quaisquer dois polígonos de mesma área são equidecomponíveis, ou seja, existe uma partição em polígonos menores que é comum aos dois. Encontrar a forma de fazer isso é outro problema e pode ser bem difícil!

Imagem: Alisson Ricardo.
Imagem: Alisson Ricardo.

Se aumentarmos a dimensão e pensarmos no mesmo problema para poliedros, a resposta mudará. Por exemplo, um tetraedro regular e um cubo de mesmo volume não são equidecomponíveis. Quem provou isso foi Max Dehn, em 1900, e foi a resposta mais rápida a um dos problemas da famosa lista de Hilbert, feita no mesmo ano.

Vídeo: Rodrigo Tetsuo Argenton.

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Este artigo da RPM - Revista do Professor de Matemática - fala sobre a teoria da equidecomponibilidade, conhecido como Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien! O artigo é bastante técnico, mas, apesar da demonstração mais formal, tem uns desenhos bem intuitivos que ajudam em seu entendimento.

Já este artigo da UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul - também fala sobre polígonos equidecomponíveis, de uma maneira um pouco mais simples, trazendo uma visão mais intuitiva, algumas abordagens a serem utilizadas e alguns exemplos de equidecomposições.                                                        

E para exemplificar esta teoria incrível, este vídeo do canal Minuto Matemática enuncia rapidamente o teorema e mostra algumas figuras se "transformando" em outras, mas de um jeito bem especial!



O Tangram é um quebra-cabeças geométrico chinês formado por 7 peças, as quais formam um quadrado. Seu objetivo é formar figuras sempre com as mesmas peças. Note que a teoria da equidecomponibilidade trata de decompor duas figuras geométricas distintas nas mesmas peças. Apesar desta diferença, o Tangram é muito interessante, principalmente se o objetivo for introduzir uma teoria matemática depois! Esta página da Wikipedia conta um pouco da história do Tangram e mostra como você pode construir o seu próprio!

Ainda sobre o Tangram e sua possibilidade de ser mostrado como introdução a algo mais formal depois, este vídeo do canal Sandra Gobert - Pensarte e artesanato fala sobre a "Lenda do Tangram", uma forma lúdica de explicar e mostrar como uma imagem pode se transformar em outras, usando as mesmas peças iniciais. É uma ótima opção para ser apresentada em aulas da educação básica, podendo até mesmo, dependendo da idade dos alunos, ser dado como introdução à teoria da equidecomponibilidade!