FRACTAIS

Fractais são “objetos” geométricos com estruturas autossimilares em infinitas escalas, isto é, existem cópias exatas ou aproximadas do objeto inteiro em pedaços de tamanhos tão pequenos quanto se queira.

O termo fractal foi cunhado por Benoît Mandelbrot na década de 1970, quando os recursos computacionais permitiram enxergar a riqueza e a beleza dessas figuras, para além dos exemplos e descobertas do início do século XX, feitas por Helge von Koch, Gaston Julia, Pierre Fatou e outros. À parte sua importância na matemática, os fractais servem como ferramenta na imitação de cenários naturais e plantas. Por exemplo, a imagem abaixo mostra um brócolis romanesco!

Imagem: AVM, na Wikimedia Commons.

Podemos também observar esse tipo de fenômeno fazendo um zoom vertiginoso a partir da observação de um ponto fixo em uma certa imagem, a qual é chamada de Conjunto de Mandelbrot, definido na teoria de Sistemas Dinâmicos. Para ver esse incrível zoom, além de muitos outros, basta entrar no canal Maths Town.

Outro jeito de vermos a formação de fractais é usando bolas espelhadas, como as da figura abaixo. Note que, ao colocá-las em certa posição e usando luzes coloridas, podemos ver o padrão repetindo-se "infinitas" vezes: basta ir aproximando as luzes das bolas espelhadas e assistir bem de perto a proliferação dos fractais!

ESPONJA DE MENGER

No início do século XX, surgiram vários exemplos de conjuntos fractais, que serviam como contraexemplos (ou testes) na topologia e, mais particularmente, nos trabalhos relacionados ao conceito de dimensão.

Karl Menger, em 1926, propôs essa “esponja”, que nada mais é do que uma generalização tridimensional do Tapete de Sierpinski, idealizado 10 anos antes por Waclaw Sierpinski.

Começa-se com a partição de um cubo em 27 cubos com um terço de seu tamanho e a retirada de 7 desses cubos menores (o do meio e os 6 do meio das faces). Para cada cubo restante, aplica-se o mesmo procedimento, e assim até o infinito. O conjunto resultante é autossimilar: seus pedaços, se ampliados corretamente, são congruentes à figura toda.

A esponja de blocos de origami “nível 2” à direita foi feita pela aluna Carla Teodoro, dentro do projeto MegaMenger de construção de uma esponja nível 4 a partir de trabalho colaborativo no mundo inteiro.

Esta página da Wikipedia dá uma visão mais geral sobre os fractais, depois dá alguns exemplos onde eles podem ser vistos e inclusive apresenta construções computacionais de um fractal específico, além de mostrar alguns outros conceitos mais formais.                                                        

Este artigo da Super Interessante traz a definição de fractais e uma de suas equações clássicas. Além disso, mostra vários exemplos práticos em diversas áreas onde esse conhecimento pode ser usado, como na medicina, arte, computação gráfica e até mesmo na economia!

Esta outra página da Wikipedia trata sobre os lagos de Wada, outro tipo de figura que pode ser entendida como um fractal. Neste artigo, é explicitada a construção destes lagos e também das bacias de Wada, além de fazer uma conexão destas com a teoria do caos.                                                        

O Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp tem vários artigos interessantes envolvendo fractais! Este artigo, dado em forma de áudios, apresenta um estudo sobre trajetória de tubarões e a conexão aos fractais, mostrando que ela segue um padrão comparável à curva fractal!

Já este artigo, dado em forma de vídeo, mostra como os métodos numéricos para encontrar as raízes de determinados polinômios permitem a produção artística dos fractais! É um ótimo vídeo para ser usado na Educação Básica, já que apresenta um conceito e o envolve com a arte, que é mais tangível.

Por fim, este artigo, que é uma sinopse para uma aula, introduz o conceito do Quadrado de Koch, um fractal que permite aos alunos, a partir de sua construção, reconhecer progressões geométricas que seguem o perímetro e a área das figuras obtidas. É outro tema muito envolvente para a Educação Básica!

Ainda pensando em Koch, existem também os fractais em forma de floco de neve de Koch, mostrados neste vídeo da Khan Academy, o qual mostra como o construir e calcular seu perímetro - que é infinito - e sua área - finita! O cálculo da área é melhor explicado neste vídeo e neste outro, também da Khan Academy.                                                                                                                                                                                                                                

Esta página da Wikipedia fala sobre as Esponjas de Menger, dando uma visão geral sobre elas, mostrando como é feita sua construção, quais são suas propriedades e sua definição formal. Por fim, menciona o projeto MegaMenger, para o qual foi feito a esponja mostrada anteriormente! Se não quiser ou puder ler a página em inglês da Wiki, esta em português é muito similar, embora alguns itens não sejam contemplados.

Por fim, este vídeo do canal MengerTec mostra a construção de uma Esponja de Menger de forma bastante lenta, a fim de que seja possível ver as os cubos pequenos encaixando-se na formação de um cubo bem maior!