INVERSOR DE PEAUCELLIER

No século XIX, vários cientistas e engenheiros estavam interessados em descobrir mecanismos que transformassem um movimento retilíneo num movimento circular. Isso seria útil, por exemplo, para as locomotivas com máquinas a vapor.

O engenheiro e oficial francês Charles-Nicolas Peaucellier, em 1864, foi o primeiro a inventar um tal mecanismo que fosse exato - James Watt havia inventado outro, que era usado até então, mas era aproximado. É este mecanismo que apresentamos aqui, de duas maneiras. Afinal, como frequentemente acontece em ciência, esse mesmo mecanismo foi descoberto de forma independente, em 1873, pelo matemático lituano Yom Tov Lipman Lipkin.

O princípio matemático que Peaucellier explorou foi a inversão por um círculo, que funciona de maneira semelhante a uma reflexão no plano por uma reta. A parte básica do mecanismo faz com que dois de seus pontos sejam o inverso um do outro por essa inversão.

Mecanismo

O mecanismo básico do inversor tem 6 barras articuladas, duas de tamanho H e quatro de tamanho h. As maiores se encontram em um ponto fixado à tábua (O), com suas pontas opostas articuladas com vértices opostos do losango formado pelas quatro menores. A ideia é fazer o ponto P andar sobre uma curva e acompanhar o que faz o ponto Q.

O que o mecanismo está fazendo é o que se chama uma inversão pelo círculo de raio r. A imagem de P pela inversão é o ponto Q, e vice-versa. Em uma operação de inversão, um ponto e sua imagem estão sobre a mesma semirreta e a média geométrica de suas distâncias à origem é igual ao raio do círculo.

Inversão

De modo geral, a inversão de um círculo ainda é um círculo. Um exemplo está ilustrado na primeira peça. A exceção ocorre quando o círculo passa pela origem: neste caso, a inversão desse círculo é uma reta. A segunda peça ilustra isso: o ponto P é forçado a percorrer um segmento de círculo que passa pela origem. Isto faz com que o ponto Q percorra, automaticamente, um segmento de reta. Foi exatamente essa a proposta de Peaucellier para transformar movimentos retilíneos em circulares, e vice-versa.

Se d = OP e D = d + 2a = OQ, podemos concluir, usando o Teorema de Pitágoras duas vezes, que, independentemente dos ângulos das articulações, sempre vale d x D = H2 - h2. Se r é tal que r2 = H2 - h2, então as distâncias de P a O e de Q a O têm média geométrica igual a r. Basta pensar na situação em que P coincide com Q.

Ao restringir que o ponto P só se movimente por um círculo que passa por O, o ponto Q automaticamente percorre uma reta. Essa reta é paralela à reta tangente ao círculo sobre o qual P está restrito, no ponto O.

Inversor de Peaucellier do acervo da Matemateca.
Imagem: Rodrigo Tetsuo Argenton.

Esta página da Wikipedia explica o mecanismo de Peaucellier, além de explicar os motivos geométricos que o fazem funcionar, apresentando a prova conceitual de vários conceitos envolvidos neste aparato. Por fim, ainda fala sobre algumas referências históricas e culturais.

Esta página do Atractor também fala sobre o mecanismo de Peaucellier, por meio da qual é possível construir um modelo do inversor de Peaucellier no Geometer's Sketchpad e explorar esse modelo com algumas outras curvas, como as parábolas.


Este vídeo do canal veproject1 mostra um inversor de Peaucellier e também alguns comentários sobre as razões históricas para sua criação e explicações sobre seu funcionamento. O mais interessante deste vídeo é que ele mostra o aparelho sozinho e depois o prendendo a um aparato maior, que deixa ainda mais clara sua execução.

O The garden of Archimedes era um museu matemático italiano que ainda tem uma página na internet. Dentro do site, há uma parte destinada a curvas e mecanismos. Nos itens da página, é possível ler sobre o inversor de Peaucellier, aprofundando-se na geometria envolvida neste mecanismo e vendo diversas imagens que auxiliam na compreensão dos conceitos apresentados.

Um dos grandes motivos para a criação do inversor de Peaucellier foi a necessidade de se criarem linhas perfeitamente retas. Esta página da Wikipedia fala sobre essa necessidade, contextualizando-a na história. Após isso, traz uma lista dos aparatos que foram criados com esse intuito - uns mais eficazes do que outros, é claro.

Esta página do portal da DMG Lib - Digital Mechanism and Gear Library - traz diversos modelos de mecanismos e máquinas, explicando suas características estruturais e funcionais. Alguns aparatos relacionados a essa página são os que contêm ligações (links) - afinal, o inversor de Peaucellier é também chamado de Peaucellier-Lipkin linkage!

Ainda sobre mecanismos que objetivavam a construção de linhas retas, o parallel motion foi um aparato criado por James Watt para a máquina a vapor. Esta página da Wikipedia fala sobre ele, descrevendo-o e explicando seu princípio de operação. Apesar de Watt dizer ter muito orgulho dessa invenção, ela não é capaz de desenhar uma linha perfeitamente reta.

Por fim, ainda mencionando esse tipo de mecanismo, James Watt e Pafnuti Tchebychev construiram o parallel linkage, o qual constrói linhas praticamente paralelas. Esta página do Cut the Knot fala sobre esse aparato e também menciona alguns outros, os quais fazem coisas similares. Por fim, menciona e descreve um livro cuja temática é exatamente essa tão discutida à época: o desenho de linhas retas.