POLIEDROS

Kepler estudou muito os poliedros. Seu fascínio era tão grande que tentou explicar as distâncias dos planetas ao Sol com base em um esquema de esferas e poliedros inscritos uns nos outros, em seu livro Mysterium Cosmographicum.

O interesse pelos poliedros vem desde a Grécia Antiga e perdura até nossos dias. Até o presente há pesquisa sendo feita sobre poliedros e também politopos, que são sua generalização para dimensões mais altas e para geometrias não euclidianas, como a hiperbólica ou a esférica.

Além do prazer estético, os poliedros proporcionaram belos, simples e surpreendentes teoremas. Após o Renascimento, destacamos o Teorema de Euler, relacionando o número de faces, arestas e vértices de um poliedro pela fórmula V+F=A+2.

A fórmula de Euler vale desde que o poliedro seja equivalente, no sentido topológico, a uma esfera. Significa, intuitivamente, que podemos “inflar” o poliedro até que ele se torne uma esfera.

Para poliedros desse tipo vale também a Fórmula de Descartes, que afirma que a soma das deficiências angulares dos vértices é sempre igual a 4π (ou 720 graus). A deficiência angular de um vértice é o quanto falta para a soma dos ângulos de face incidentes naquele vértice atingir 2π (ou 360 graus).

POLIEDROS CONVEXOS DE FACES REGULARES

UNIFORMES Os poliedros uniformes são aqueles em que todos os vértices são indistinguíveis entre si. Pode-se dizer que 'o que se vê do poliedro a partir de um vértice é exatamente o que se vê a partir de qualquer outro vértice'.


PLATÔNICOS Estes são os poliedros uniformes com faces iguais (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro)

PRISMAS Bases paralelas ligadas por quadrados (família infinita)
ANTIPRISMAS Bases paralelas ligadas por triângulos (família infinita)


ARQUIMEDIANOS Todos os outros poliedros uniformes (número finito)


NÃO UNIFORMES Pirâmides, cúpulas, deltaedros, cortes de uniformes etc. Podem ser tanto elementares quanto compostos – os compostos são aqueles que podem ser cortados em dois outros poliedros convexos de faces regulares, os elementares são os que não podem. Há um número finito deles.

Para descobrir ainda mais sobre esse assunto, basta dar uma olhada nos vídeos abaixo! No vídeo "Poliedros de Platão: duais e inscritos, a Prof. Dra. Lucia Satie Ikemoto Murakami menciona algumas planificações, as quais estão disponíveis na página de Simetrias. Aproveite e confira os outros vídeos bem legais que tem no canal da Matemateca!

Esta página da Wikipedia traz uma explicação bastante completa sobre poliedros, começando com a definição e uma visão mais geral. Também fala especificamente sobre diversos tipos de poliedros, como os regulares, não regulares e convexos, além de citar algumas outras famílias importantes. Fala sobre operações de transformação sobre sólidos, entre outros detalhes sobre este abrangente tema.

Pensando especificamente em sólidos platônicos, esta página da Wikipedia traz uma visão bastante completa sobre o tema. Fala sobre coordenadas cartesianas, propriedades combinatórias, geométricas e métricas, classificações - tanto pela prova geométrica quanto pela topológica -, simetrias e operações sobre sólidos platônicos. Além disso, menciona uma visualização na natureza, por meio dos cristais líquidos com simetrias de sólidos!

O Teorema de Euler representou um grande avanço no estudo de poliedros e da geometria. Esta página do IME da Unicamp - Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de Campinas - fala sobre Leonhard Euler e seu teorema aplicado a poliedros convexos, apresentando uma demonstração por indução de sua validez neste caso. Além disso, fala sobre como seu teorema não é válido para qualquer poliedro.

Se a condição da fórmula de Euler sobre o poliedro ser equivalente topologicamente a uma esfera não ficou clara, esta página da Wikipedia será ideal em seus estudos (ou curiosidades). A topologia é um ramo da matemática que estuda espaços topológicos, dividida em alguns ramos, como a geral e a algébrica. Nesta página, pode-se compreender um pouco sobre sua história e aspectos elementares.

Johannes Kepler, astrônomo fascinado por poliedros, escreveu o livro Mysterium Cosmographicum, em uma tentativa de explicar as distâncias dos planetas ao Sol. Esta página da Wikipedia dá uma visão geral sobre o que é tratado no livro, inclusive sobre sua base teológica e filosófica e sobre a filosofia e epistemologia das ciências de forma mais geral.

Por fim, os politopos são a generalização dos poliedros para dimensões mais altas. Esta página da Wikipedia fala mais especificamente sobre os politopos convexos, dando sua definição, alguns exemplos e propriedades, como as topológicas e a decomposição simplicial. Também apresenta alguns problemas algorítmicos para um politopo convexo e a construção de suas representações.