A SÉRIE HARMÔNICA

É possível empilhar placas iguais, sem usar cola, de modo a que o comprimento da projeção do conjunto sobre a mesa seja arbitrariamente grande?

O fato de a série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … divergir para infinito garante a resposta afirmativa a esta pergunta. Basta empilhar as placas assim: para cada placa, o conjunto de placas acima dela tem o centro de massa em sua extremidade, ou seja, está na posição limite para cair. Aliás, se quiser saber mais sobre centro de massa, dá uma olhadinha na nossa peça que fala sobre isso!

Imagem: Alisson Ricardo.

Apesar da série harmônica tender a infinito, isto se dá muito lentamente. Se, desde o Big Bang, há 14 bilhões de anos aproximadamente, um novo termo da série tivesse sido somado a cada segundo, esse número ainda não teria passado de 50. É isto o que queremos dizer com muito lentamente!!!!

Esta ideia fica mais clara observando algumas parciais da série harmônica:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10 = 2,92…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 = 5,18…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10000 = 9,78…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1000000 = 14,39…

LINKS ÚTEIS

Esta página da Wikipedia fala sobre as séries matemáticas, dando sua definição e classificação quanto à convergência. Também fala sobre convergência e divergência das séries, além de apresentar alguns tipos importantes, como a harmônica. Além disso, fala sobre funções definidas por séries e generalizações em espaços normados.

Já esta outra página da Wikipedia fala especificamentee sobre as séries harmônicas, as que são estudadas pela peça aqui apresentada. Na página, comenta-se sobre a soma de primos recíprocos, sobre séries harmônicas alternadas, além de explicitar a divergência deste tipo de série.

Foi visto que a série harmônica é divergente, conceito explicado nesta página da Wikipedia. Nela, é dada sua definição precisa e é apresentado o método da soma, explicitando algumas de suas propriedades. Por fim, fala-se sobre a média abeliana e a soma de Abel.

E se você não se convenceu de que a série harmônica é divergente, este vídeo da Khan Academy demonstra essa propriedade importante, embora não tão óbvia, das séries harmônicas, por meio de manipulações algébricas e comparações diretas.