POLIEDROS

O interesse pelos poliedros vem desde a Grécia Antiga e perdura até nossos dias. Até o presente há pesquisa sendo feita sobre poliedros e também politopos, que são sua generalização para dimensões mais altas e para geometrias não euclidianas, como a hiperbólica ou a esférica.

Além do prazer estético, os poliedros proporcionaram belos, simples e surpreendentes teoremas. Após o Renascimento, destacamos o Teorema de Euler, relacionando o número de faces, arestas e vértices de um poliedro pela fórmula V+F=A+2.

A fórmula de Euler vale desde que o poliedro seja equivalente, no sentido topológico, a uma esfera. Significa, intuitivamente, que podemos “inflar” o poliedro até que ele se torne uma esfera.

Para poliedros desse tipo vale também a Fórmula de Descartes, que afirma que a soma das deficiências angulares dos vértices é sempre igual a 4π (ou 720 graus). A deficiência angular de um vértice é o quanto falta para a soma dos ângulos de face incidentes naquele vértice atingir 2π (ou 360 graus).

Kepler estudou muito os poliedros. Seu fascínio era tão grande que tentou explicar as distâncias dos planetas ao Sol com base em um esquema de esferas e poliedros inscritos uns nos outros, em seu livro Mysterium Cosmographicum.