TOPOLOGIA ALGÉBRICA

Estas peças que lembram objetos artísticos ou de artesanato ilustram uma das mais belas áreas da Matemática, a Topologia Algébrica. Nessa teoria, as superfícies são vistas por suas propriedades mais intrínsecas, que não variam sob deformações, diferentemente da Geometria, que se preocupa com a forma exata dos objetos no espaço.

Uma informação importante sobre uma superfície é sua característica de Euler (χ), que pode ser obtida de qualquer subdivisão da superfície em polígonos. Contando-se faces (F), arestas (A) e vértices (V) da subdivisão, calcula-se o número χ=F−A+V. É possível mostrar que esse número não depende da subdivisão escolhida. A esfera, por exemplo, tem característica de Euler igual a 2, e é por isso que todos os poliedros convexos satisfazem a fórmula de Euler

A classificação das superfícies foi feita no século XIX: duas superfícies conexas, fechadas e limitadas são equivalentes se, e somente se, tiverem o mesmo número de componentes de bordo, a mesma orientabilidade e a mesma característica de Euler. Isto significa que essas três informações determinam completamente de que superfície se trata.

Premiada na I Bienal de São Paulo, em 1951, a Unidade Tripartida, de Max Bill, é um exemplo da influência da Topologia na Arte.

Não importa qual seja a subdivisão da esfera, a contagem “faces – arestas + vértices” sempre vai dar igual a 2.
Já no toro o resultado é sempre igual a zero.